Спортлото

В "НиЖ" №1-1980 была опубликована статья о выигрышных системах в "Спортлото" (см. прикрепленный файл).

В начале статьи приводится вывод: "Таким образом, математики теоретически совершенно строго показали, что постоянно выигрывать в «Спортлото» нельзя, и оно в этом смысле мало чем отличается от обычной лотереи: сиди и жди удачи."

Но далее авторы приводят якобы выигрышную систему, основанную на психологии игроков (т.е. заполнение, масимально отличающееся от среднестатистического). Результаты их моделирования дают соотношение выигрыша к вложениям порядка 130%.

Поскольку само численное моделирование не слишком хитроумно, а мощности современных ПМК превосходят мощности ЭВМ 1970-х годов, предлагаю:
- проверить гипотезу авторов
- дать математическую оценку

P.S. В любом случае, авторы статьи здорово подняли доходы за счет увеличения массовости лотереи. Уверен, что население, получив "стратегию", кинулось ее испытывать своим кошельком :) С учетем даты публикации - доход государства был еще и своевременным. А немного позже для повышения массовости все-таки пришлось менять "6 из 49" на "6 из 45". А еще позже - создавать "Спортпрогноз"...

File attachments: 
Прикрепленный файлРазмер
File NiZ.1980-01_p146.Sportloto.djvu265.13 KB

Комментарии

Вообще-то, на сколько я помню, было "6 из 49" и "5 из 36", а об "6 из 45" слышу впервые.
Я в своей жизни лотерейные билеты покупал только 4 раза, ещё в школьном возрасте, и 3 из них выиграл 8) правда минимальный выигрыш.

Мои программируемые калькуляторы:
Б3-21, Б3-34, МК-61, МК-52, МК-85
CASIO: cfx-9850GB+, fx-9750G+, fx-9750GII, fx-9860G, Algebra fx-2.0, fx-5800P, fx-7400G+
HP: 50G, 48G, 35s
TI: Nspire-CAS, Voyage-200, 89Titanium
SHARP EL-9600G

6 из 45 «6 из 45» в 1986 году заменила систему «6 из 49», по «многочисленным просьбам трудящихся», с целью повышения вероятности выигрыша на 30 %.

Ну тогда понятно. В 86 я поступил в институт, с 87 по 89 служил в ВМФ СССР, в 89 вернулся на 2-й курс. Не до спортлото было.
Кстати, цифры вроде не пляшут...
число сочетаний 6 из 49 = 49С6 = 13983816
При равномерном законе распределения вероятностей вероятность угадать:
- 6 номеров = 1/49С6 = 7.15e-8
- 5 номеров = 6С5/49С5 = 3.15e-6, а не 1.84e-5
- 4 номера = 6С4/49С4 = 7.08e-5
- 3 номера = 6С3/49С3 = 1.085e-3
Или я чего-то не понимаю...

Мои программируемые калькуляторы:
Б3-21, Б3-34, МК-61, МК-52, МК-85
CASIO: cfx-9850GB+, fx-9750G+, fx-9750GII, fx-9860G, Algebra fx-2.0, fx-5800P, fx-7400G+
HP: 50G, 48G, 35s
TI: Nspire-CAS, Voyage-200, 89Titanium
SHARP EL-9600G

Расчет вероятностей. Стандартная задачка из курса по теории вероятностей.
Нужно считать так:
Для 6: (6С6)*(43С0)/(49С6)=0,00000007151;
Для 5: (6С5)*(43С1)/(49С6)=0,00001844989;
Для 4: (6С4)*(43С2)/(49С6)=0,00096861972;
Для 3: (6С3)*(43С3)/(49С6)=0,01765040387;
Для 2: (6С2)*(43С4)/(49С6)=0,132378029;
Для 1: (6С1)*(43С5)/(49С6)=0,4130194505;
Для 0: (6С0)*(43С6)/(49С6)=0,4359649755.

О подобной стратегии писал, если не ошибаюсь, Мартин Гарднер (к сожалению не помню название и год публикации). Ее суть в том, чтобы ставить на те номера, которые не выбирают или очень редко выбирают остальные игроки. Следовательно, делить выигрыш, если эти номера выиграют, ни с кем не надо (или дележ будет между очень малым числом счастливчиков).

Психология, правда, такая вещь, с которой нужно обращаться внимательно. Авторы статьи использовали статистический материал для выявления закономерностей в выборе номеров игроками.

Представьте что будет, если игроки начнут использовать эту стратегию или "придумают" другие. Статистика в этом случае будет уже совершенно другой. Найденная авторами психологическая стратегия уже не будет эффективной, т.к. счастливчиков, сделавших выбор номеров по данной системе, будет гораздо больше, значит и выигрыш придется делить между всеми ними.

Согласен, если у авторов и была какая-то задняя мысль, то она, вероятно, заключалась в увеличении количества играющих в лотерею (увеличение поступления денежных средств). Конфеткой послужила открытая ими выигрышная стратегия.

Смоделировать это было бы интересно. Придется запрограммировать выбор номеров типичным игроком с учетом найденных авторами стереотипов.

Да, как-то совсем забыл о вероятности не угадать оставшиеся номера...

Мои программируемые калькуляторы:
Б3-21, Б3-34, МК-61, МК-52, МК-85
CASIO: cfx-9850GB+, fx-9750G+, fx-9750GII, fx-9860G, Algebra fx-2.0, fx-5800P, fx-7400G+
HP: 50G, 48G, 35s
TI: Nspire-CAS, Voyage-200, 89Titanium
SHARP EL-9600G

Система. Я не вдавался в расчет, однако авторы статьи, по-моему, умалчивают, что сначала нужно все-таки обыграть лототрон, то есть угадать номера. И только потом можно сыграть против всех.

Посему их выкладки про выигрыш 130% от вложенной суммы на массиве из 3 с лишним тысяч билетов и 600 тиражей кажутся неправдоподобными.

И, разумеется согласен с вами, на основе приведенной системы можно сделать иную.

Примерный алгоритм. Можно попробовать проверить "что в "Спортлото" отход от стандартного мышления позволяет при равной для всех вероятности отгадывания выигрышных номеров ожидать выигрыш в 2-3 раза выше, чем при игре по таблице случайных чисел".

Если эта проверка покажет эффективность указанной авторами статьи системы, то для системы, учитывающей стереотипы выбора чисел игроками, эффективность будет еще выше, т.к. для "среднего" игрока вероятность выбора чисел из верхней строки и правой трети таблицы будет ниже.

1) Сгенерировать результат работы лототрона;
2) Последовательно генерировать 3024 "моих" карточек и считать те, в которых угаданы 5 номеров;
3) Последовательно генерировать остальные 10000000 - 3024 карточки и считать те, в которых угаданы 5 номеров;
4) Вычислить сумму выигрыша по "моим" карточкам и запомнить её;
5) Повторить шаги 1)-4) 199 раз;
6) Вычислить отношение суммы выигрыша к сумме затрат и вывести его на экран;
7) Повторить шаги 5)-6) еще 2 раза;
8) Вычислить среднее отношений суммы выигрыша к сумме затрат и вывести его на экран.

Кстати, в интернете в архивной информации по тиражам "Спортлото" тираж в 10000000 встречается не часто (выше среднего тиража). Даже если взять тираж 5000000, то на ПМК расчеты по указанной схеме займут продолжительное время (10000000*600= 6 000 000 000 вариантов).

Может быть есть более эффективный алгоритм.

Странные результаты может в моих расчетах какая-то ошибка?

Полный перебор вариантов (49С6=13983816) показал, что среди них имеется 7059052 варианта карточек, в которых есть хотя бы 2 соседних числа по вертикали, т.е. вероятность того, что лототрон выбросит такой набор чисел равна 49,5%.

Аналогичные расчеты для соседних чисел, стоящих как на вертикали, так и на горизонтали, дают вероятность 74%. Отсюда вывод: при игре в Спортлото выбор чисел разбросанных по всему полю (т.е. без соседей) ничем не оправдан.

Расчеты, проведенные в предположении, что игроки играют по таблице случайных чисел, дали следующие результаты (для указанной авторами статьи стратегии):
1) в 10 полных тиражах по теории вероятностей (при равновероятности всех вариантов!) пять чисел должны быть угаданы приблизительно в 2580 случаях, а из 3024*10 карточек выиграли 273 штуки;
2) в еще одной 10-ке полных тиражей из 3024*10 карточек выиграли 977 карточек;
3) в еще одной 10-ке полных тиражей из 3024*10 карточек выиграли 318 карточек;
4) в 100 полных тиражах по теории вероятностей (при равновероятности всех вариантов!) пять чисел должны быть угаданы приблизительно в 25800 случаях, а из 3024*100 карточек выиграла 2471 штука;
5) в еще одной 100-ке полных тиражей из 3024*100 карточек выиграла 5771 штука;
6) в 600 полных тиражах по теории вероятностей (при равновероятности всех вариантов!) пять чисел должны быть угаданы приблизительно в 154800 случаях, а из 3024*600 карточек выиграли 18585 штук.

Выигрыш одного билета получается равным 1626,02 руб. Результаты расчета отношения выигрыша к затратам весьма неожиданны. Если вспомнить фразу из статьи о колебании суммы выигрыша на пять номеров в 30 раз, то все вроде бы встает на свои места. Отношение близко к заявленному, но все равно остаются вопросы. Если же учитывать психологию игроков, то эффективность набора в 3024 карточки должна увеличиться.

С программированием статистического эксперимента максимально близкого к описанному в статье пока есть некоторые трудности. При полном переборе всех вариантов легко учесть в скольких случаях сработали 3024 карточки (они все там есть), а как вести подсчет срабатывания в случайном переборе.

Конечно, можно каждый раз запускать цикл с проверкой принадлежности набора чисел в случайной карточке к массиву из 3024 чисел, но время расчетов в этом случае очень сильно увеличивается.

Программа:

s=0;n=0;obyem=600;
For[www=1,www<=obyem,www++,{Label[0];a1=Random[Integer,{1,49}];
a2=Random[Integer,{1,49}];a3=Random[Integer,{1,49}];
a4=Random[Integer,{1,49}];a5=Random[Integer,{1,49}];a6=Random[Integer,{1,49}];
    If[Count[{a1,a2,a3,a4,a5,a6},a1]+Count[{a1,a2,a3,a4,a5,a6},a2]+
          Count[{a1,a2,a3,a4,a5,a6},a3]+Count[{a1,a2,a3,a4,a5,a6},a4]+
          Count[{a1,a2,a3,a4,a5,a6},a5]+Count[{a1,a2,a3,a4,a5,a6},a6]<>6,Goto[0]];
    a={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};
    b={{38,39,42},{39,40,43},{40,41,44},{41,42,45},{42,43,46},{43,44,47},{44,
          45,48},{45,46,49},{46,47,38},{47,48,39},{48,49,40},{49,38,41}};
    c={{43,44,45,46,47,48,49},{38,44,45,46,47,48,49},{38,39,45,46,47,48,
          49},{38,39,40,46,47,48,49},{38,39,40,41,47,48,49},{38,39,40,41,42,
          48,49},{38,39,40,41,42,43,49},{38,39,40,41,42,43,44},{39,40,41,42,
          43,44,45},{40,41,42,43,44,45,46},{41,42,43,44,45,46,47},{42,43,44,
          45,46,47,48}};
    For[i=1,i<=12,i++,
      For[j=1,j<=12,j++,
        For[k=1,k<=12,k++,
          For[k1=1,k1<=7,k1++,
            For[k2=1,k2<=7,k2++,
              If[Count[{a[[i]],b[[j,1]],b[[j,2]],b[[j,3]],c[[k,k1]],c[[k,k2]]},a1]+
                    Count[{a[[i]],b[[j,1]],b[[j,2]],b[[j,3]],c[[k,k1]],c[[k,k2]]},a2]+
                    Count[{a[[i]],b[[j,1]],b[[j,2]],b[[j,3]],c[[k,k1]],c[[k,k2]]},a3]+
                    Count[{a[[i]],b[[j,1]],b[[j,2]],b[[j,3]],c[[k,k1]],c[[k,k2]]},a4]+
                    Count[{a[[i]],b[[j,1]],b[[j,2]],b[[j,3]],c[[k,k1]],c[[k,k2]]},a5]+
                    Count[{a[[i]],b[[j,1]],b[[j,2]],b[[j,3]],c[[k,k1]],c[[k,k2]]},a6]==5,s=s+1]]]]]]}];
Print["s=",s];Print["n=",obyem*258]

Мои соображения. Для лототрона все комбинации равновероятны: что "1, 2, 3, 4, 5, 6", что выбранная наугад по телефонной книге. То есть, имеет смысл:
- расчитать вероятность выигрыша 6 (и менее) номеров на 3024 карточках и посмотреть, какова будет рентабельность (с учетом того, что на выплату идет только 50% сбора от тиража)
- расчитать условную вероятность предельного случая - выигрыша 6 (и менее) номеров из 3024 карточек, при том, что никто другой из участников не угадывает эту же комбинацию, и посмотреть на рентабельность